Proporções com números
Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:A B | = | C D |
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- Os números A, B, C e D são denominados termos
- Os números A e B são os dois primeiros termos
- Os números C e D são os dois últimos termos
- Os números A e C são os antecedentes
- Os números B e D são os consequentes
- A e D são os extremos
- B e C são os meios
- A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.
Propriedades das proporções
Para a proporçãoA B | = | C D |
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- O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
A · D = B · C - A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:
A+B
A= C+D
Ce A-B
A= C-D
C - A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:
A+B
B= C+D
De A-B
B= C-D
D - A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:
A+C
B+D= A
B= A-C
B-De A+C
B+D= A-C
B-D= C
D
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:
X Y | = K |
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- Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)
15 minutos
50 cm30 minutos
100 cm45 minutos
150 cm
Tempo (min) Altura (cm) 15 50 30 100 45 150
Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.
(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:
15
30= 50
100= 1
2
15
45= 50
150= 1
3 - Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:
Distância (Km) Tempo (h) 80 1 160 2 240 3
Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.
(a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:
1
2= 80
160= 1
3
2
3= 160
240= 1
3
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:
X · Y = K
Exemplos:- A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.
o melhor aluno receberá 24 livros cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros
Alunos escolhidos Livros para cada aluno 1 24 2 12 3 8 4 6 6 4
- Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.
- Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.
- Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.
- Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.
Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.
Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:
2
4= 1
12/6= 1
2e 12
6= 1
2/4=2
2
6= 1
12/4e 12
4= 1
2/6
- Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:
1 hora, velocidade média de 120 Km/h 2 horas, velocidade média de 60 Km/h 3 horas, velocidade média de 40 Km/h
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 120 1 60 2 40 3
Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.
Elementos históricos sobre a Regra de três
Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.
Regra de três simples direta
Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
X Y | = K | e | W Z | = K |
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X Y | = | W Z |
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Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do corpo (Kg) | Deslocamento da mola (cm) |
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10 | 54 |
15 | X |
10 15 | = | 54 X |
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Regra de três simples inversa
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
A · B = K e C · D = K
segue que
A · B = C · D
logoA C | = | D B |
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Velocidade (Km/h) | Tempo (s) |
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180 | 20 |
200 | T |
180 200 | = | T 20 |
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Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.
Regra de três composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.
Situação | Grandeza 1 | Grandeza 2 | Grandeza 3 | Grandeza 4 | Grandeza 5 | Grand... | Grandeza ? |
Situação 1 | A1 | B1 | C1 | D1 | E1 | … | Z1 |
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Situação 2 | A2 | B2 | C2 | D2 | E2 | … | Z2 |
Z1 Z2 | = | A1 · B1 · C1 · D1 · E1 · F1 … A2 · B2 · C2 · D2 · E2 · F2 … |
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Z1 Z2 | = | A1 · B2 · C1 · D1 · E1 · F1 … A2 · B1 · C2 · D2 · E2 · F2 … |
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Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:
Z1 Z2 | = | A1 · B2 · C1 · D2 A2 · B1 · C2 · D1 |
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Exemplos:
- Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:
No. de máquinas (A) No. de dias (B) No. de peças (C) 5 6 400 7 9 X
Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:
400
x= 5×6
7×9
400
x= 30
63 - Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:
Quilômetros (A) Horas por dia (B) No. de dias (C) 200 4 2 500 5 X
Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:
2
X= 200×5
500×4
2
X= 1000
2000
Porcentagem
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:- Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar. - Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma:
X% de 4 = 3Assim:
(X/100).4 = 3 4X/100 = 3 4X = 300 X = 75
Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. - Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:
42,5% de X = 255Assim:
42,5%.X = 255 42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. - Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e isto significa que
92% de X = 690logo
92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.
Juros Simples
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:- O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.
- A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.
- O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
- O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.
j = | C · i · t 100 |
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- O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?
A diferença entre os preços dados pela loja é:
652,00 - 450,00 = 202,50A quantia mensal que deve ser paga de juros é:
202,50 / 5 = 40,50Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:
X% de 450,00 = 40,50 X/100.450,00 = 40,50 450 X / 100 = 40,50 450 X = 4050 X = 4050 / 450 X = 9
A taxa de juros é de 9% ao mês. - Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?
O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:
3% de C = 960,00 3/100 C = 960,00 3 C / 100 = 960,00 3 C = 96000 C = 96000/3 = 32000,00
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.
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