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terça-feira, 21 de abril de 2015

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais – Regra de três

1. Introdução

Uma máquina produz 140 peças por dia. Em quantos dias a mesma máquina produzirá 980 peças? Sete máquinas de mesmo rendimento produzem em quatro dias determinada quantidade de peças. Em quanto tempo duas máquinas idênticas às primeiras produzirão a mesma quantidade de peças? 
Sete máquinas de mesmo rendimento produzem 500 peças em 4 dias. Em quanto tempo cinco máquinas idênticas às primeiras produzirão 875 peças?

2. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Razão[do latim rationis]: divisão.
Proporção[do latim proportionis]: igualdade entre duas razões.
Grandeza[grande + eza]: que pode ser medido.
Antecedente[do latim antecedentis]: primeiro termo de uma razão.
Consequente[do latim consequentis]: segundo termo de uma razão.
Meio[do latim medius]: que indica metade.
Extremo[do latim extremus]: mais distante.
Leia os problemas a seguir e observe a resolução de cada um.
Três torneiras idênticas abertas até o final enchem um tanque em 2h. Se somente duas torneiras ficarem abertas, quanto tempo levarão para encher o tanque?
Observe que, se diminuirmos o número de torneiras, o tempo de enchimento aumentará, portanto torneiras e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Colocando os dados do problema numa tabela:
número de torneiras tempo (h)
3 2
2 x
Você já viu que, para resolvermos o problema, invertemos uma das razões, escrevemos a proporção e aplicamos a propriedade das proporções em que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.



Resposta: Levarão 3h para encher o tanque.
Cinco torneiras idênticas abertas até o final enchem um tanque de 1000l em 2h. Em quanto tempo três torneiras idênticas às primeiras encherão um tanque de 1500l?
Observe que temos três grandezas envolvidas, torneiras, tempo e volume.
Colocando os dados do problema numa tabela:
número de torneiras tempo (h) volume (l)
5 2 1 000
3 x 1 500
Analisando a grandeza tempo em relação às grandezas torneiras e volume, temos que, se aumentarmos a quantidade de torneiras, o tempo diminui e se aumentarmos o volume do tanque, o tempo aumenta, portanto torneiras e tempo são GIP e volume e tempo são GDP.
Para resolver o problema, igualamos a razão que contém x com o produto das outras razões de modo que as grandezas sejam diretamente proporcionais à variação do x. Assim:
                     GIP                    GDP
                
número de torneirastempo (h)volume (l)
5 2 1000
3 X 1500
Escrevendo a proporção:


invertemos a razão, pois quantidade de torneiras e tempo são GIP.
Resolvendo a proporção:
3000x = 15 000
x = 5
* Observe que podemos resolver o problema usando regra de três simples. Fixando o número de torneiras e mudando a variável x por y, temos:
                                               GDP
                                        
número de torneirastempo (h)volume (l)
5 2 1000
3 Y 1500
Fixando o volume, temos:
                                   GIF
                    
número de torneirastempo (h)volume (l)
5y = 3 1500
3x 1500
Resposta: Três torneiras encherão um tanque de 1 500l em 5h.
No primeiro problema, temos duas grandezas envolvidas e queremos determinar o valor de x, sendo que foram fornecidos três dados do problema; já no segundo problema, temos três grandezas envolvidas.
Problemas que envolvem mais de duas grandezas são chamados de problemas de regra de três composta e que envolvem duas grandezas são chamados problemas de regra de três simples.
Um livro tem 200 páginas, cada página 30 linhas e cada linha 60 letras. Se o livro tivesse por página 40 linhas com 50 letras em cada linha, quantas páginas teria?
Observe que temos três grandezas envolvidas, quantidade de páginas, linhas e letras, portanto é um problema de regra de três composta. 
Colocando os dados do problema numa tabela:
número de páginas número de linhas número de letras
200 30 60
x 40 50
Analisando a grandeza páginas em relação às grandezas linhas e letras, temos que, se aumentarmos a quantidade de linhas, a quantidade de páginas diminui, conservando-se o mesmo número de letras por linha e se diminuirmos a quantidade de letras por página, a quantidade de páginas aumenta, conservando-se o mesmo números de linhas por página, portanto linhas e páginas são GIP e letras e páginas são GIP. Assim:
                                 GIP
                   
número de páginasnúmero de linhasnúmero de letras
200 30 60
x 40 50
                                                  GIP
Escrevendo a proporção

Resolvendo a proporção:

Resposta: O livro terá 180 páginas.
Observe que o livro de 200 páginas tem 30 x 60 letras por página, ou seja, 1800 letras, já o livro de 180 páginas tem 40 x 50 letras por página, ou seja 2000 letras.

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